朗格朗日乘子法

拉格朗日乘子法 (Lagrange multipliers)是一种寻找多元函数在一组约束下的极值的方法.通过引入拉格朗日乘子，可将有 d 个变量与 k 个约束条件的最优化问题转化为具有 d + k 个变量的无约束优化问题求解。

本文希望通过一个直观简单的例子尽力解释拉格朗日乘子法和KKT条件的原理。

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以包含一个变量一个约束的简单优化问题为例。

如图所示，我们的目标函数是$f(x)=x^2+4x−1$，讨论两种约束条件𝑔(𝑥)g(x)：

1. 在满足x≤−1 约束条件下求目标函数的最小值；

2. 在满足 x≥−1约束条件g(x)下求目标函数的最小值。

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我们可以直观的从图中得到，

• 对于约束 1) 使目标值f(x)最小的最优解是x=−2；
• 对于约束 2) 使目标值f(x)最小的最优解是x=−1。

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下面我们用拉格朗日乘子来求解这个最优解。

当没有约束的时候，我们可以直接令目标函数的导数为0，求最优值。

可现在有约束，那怎么边考虑约束边求目标函数最优值呢？

• 最直观的办法是把约束放进目标函数里，由于本例中只有一个约束，所以引入一个朗格朗日乘子λ，构造一个新的函数，拉格朗日函数h(x)，

  • $h(x)=f(x)+λg(x)$

该拉格朗日函数h(x)最优解可能在g(x)<0区域中，或者在边界g(x)=0上，下面具体分析这两种情况，

• 当g(x)<0时，也就是最优解在g(x)<0区域中， 对应约束1) x≤−1的情况。此时约束对求目标函数最小值不起作用，等价于λ=0，直接通过条件∇𝑓(𝑥∗)=0，得拉格朗日函数h(x)最优解x=−2。
• 当g(x)=0时，也就是最优解在边界g(x)=0上，对应约束1) x≥−1的情况。此时不等式约束转换为等式约束，也就是在λ>0、约束起作用的情况下，通过求∇𝑓(𝑥∗)+𝜆∇𝑔(𝑥∗)=0，得拉格朗日函数h(x)最优解x=−1。

所以整合这两种情况，必须满足λg(x)=0

因此约束g(x)最小化f(x)的优化问题，可通过引入拉格朗日因子转化为在如下约束下，最小化拉格朗日函数h(x)，

上述约束条件成为KKT条件。

该KKT条件可扩展到多个等式约束和不等式约束的优化问题。